A „Számfok” leckében azt vettük át, hogy egy szám négyzet négyzetre osztása azt jelenti, hogy a számot megszorozzuk önmagával. A négyzet rövid rövid írása a következő:
De mi van, ha ellenkező eredményt kell elérnünk? Például, megtudhatja, hogy a négyzetre megadott szám miként adná a „9” számot?
Az eredeti számnak a négyzetgyök kivonására történő felkutatását, amely négyzetből adná a kívánt értéket.
A négyzetgyök betakarítása ellentétes a négyzetgyökérrel.
A négyzetgyöknek speciális jele van. A fenti számítások alapján könnyű kitalálni, hogy a négyzetben a „9” -re eső szám a „3”. A "9" szám négyzetgyökének kinyerésének rekordja így néz ki:
Olvassuk a következő bejegyzést: "A kilenc számtani négyzetgyöke". A "számtani" szó elhagyható. A "számtani négyzetgyök" és a "négyzetgyök" kifejezések teljesen azonosak.
A gyökérjel alatti számot gyökér kifejezésnek nevezzük.
A radikális kifejezést nem csak egy szám képviseli. Mindent, ami a gyökér jele alatt van, gyökér kifejezésnek nevezzük. Számot és betűt is tartalmazhat.
Négyzetgyököt csak a pozitív számból lehet kibontani.
- √ −9 =... nem lehet kibontani a negatív szám négyzetgyökét;
- √ 64 = 8
- √ −1,44 =... nem lehet kibontani a negatív szám négyzetgyökét;
- √ 256 = 16
Nulla négyzetgyök
A nulla négyzetgyöke nulla.
Az egyik négyzetgyöke
Az egyik négyzetgyöke egy.
Hogyan lehet megtalálni a szám négyzetgyökét?
Azoknak az egész számoknak a négyzetgyökere, amelyeknek négyzete ismert, elég könnyen kiszámítható. Ehhez csak tanulja meg a négyzet táblát.
A matematika iskolai tanfolyamának problémáiban leggyakrabban meg kell találni az 1-től 20-ig terjedő számok négyzetének négyzetgyökét..
Négyzetes gyökérpéldák megoldása
307 Alimov 9. osztály
Számítsa ki egy szám aritmetikai négyzetgyökét.
Hogyan lehet megtalálni a tizedes négyzetgyökét?
A tizedes tört négyzetgyökének megtalálásakor a következő lépéseket kell végrehajtania:
- felejtsük el a vesszőt az eredeti tizedes törtben, és egészben írjuk be;
- számolja ki egy egész szám négyzetgyökét;
- cserélje le a kapott egész számot egy tizedes törtre (tegyen vesszőt a tizedes szorzás szabálya alapján).
Az alábbiakban részletesebben megvizsgáljuk.
307 Alimov 9. osztály
Számítsa ki a "0.16" tizedes tört négyzetgyökét.
A szabály első bekezdésében felejtsük el a vesszőt a tizedes törtben, és jelöljük egészben "16".
Könnyű megjegyezni, hogy a négyzetben melyik szám adja a „16” -ot. Ez a "4" szám.
Emlékezzen a decimális szorzási szabályra. A tizedes törtek szorzata eredményeként a tizedes pontok száma megegyezik az egyes törtek tizedes számainak összegével.
Vagyis például, ha megszorozzuk a „0,15” és „0,3”, a kapott termék tizedes tört lesz három tizedes pontossággal.
Tehát a √ 0,16 négyzetgyökének kiszámításakor olyan tizedes törtt kell találnunk, amely csak egy tizedes pontossággal rendelkezne. Ebből az a tényből indulunk ki, hogy a tizedes tört önmagában történő szorzásának eredményeként az eredménynek két tizedes pontossággal kellett volna lennie, mint a „0,16” tizedes törtben.
Kiderült, hogy a válasz a "0,4" tizedes tört.
Győződjön meg arról, hogy a "0,4 2" tizedes tört négyzete "0,16" legyen. Szorozzuk meg a "0.4" oszlopban a "0,4".
Vegyünk egy másik példát a tizedes négyzetgyökének kiszámítására. Kiszámítja:
Képzelje el az „1,44” tizedes tört helyett a „144” egész számot. Milyen számot ad a dobozban "144"? A válasz a "12" szám.
Mivel az „1.44” tizedes törtben - két tizedes pontossággal, tehát az „1.44” négyzetet megadó tizedes törtben egy tizedesjegy legyen.
Győződjön meg arról, hogy az "1,2 2" négyzet "1,44".
1,2 2 = 1,2 · 1,2 = 1,44
A √ 2, √ 3, √ 5, √ 6 stb. Számok négyzetgyökerei.
Nem minden szám képes könnyen kibontani a négyzetgyökét. Például egyáltalán nem egyértelmű, hogy √ 2 vagy √ 3 stb..
Valójában melyik szám adja meg a dobozban a „2” -t? Vagy a "3" számot? Ez a szám nem lesz egész szám. Sőt, ez egy nem időszakos tizedes tört, és sok irracionális számban szerepel.
Mi a teendő, ha hasonló négyzetgyökerek maradnak a válaszban? Mint például az alábbi példában:
√ 15 - 2 · 4 = √ 15 - 8 = √ 7
Nincs olyan egész szám, amely négyzetet adna a "7" számnak. Ezért mielőtt elvégzi a feladatot, figyelmesen olvassa el annak állapotát.
Ha a feladat nem mond semmit az összes négyzetgyök kötelező kiszámításáról, akkor a választ a gyökérre hagyhatja.
√ 15 - 2 · 4 = √ 15 - 8 = √ 7
Ha a feladat szerint minden négyzetgyökét mikrokalkulátor segítségével kell kiszámítani, akkor a négyzetgyök kiszámítása után a számológéppel kerekítse az eredményt a kívánt karakterszámra.
A feladat szövege ebben az esetben a következőképpen írható:
"Kiszámítja. Keresse meg a négyzetgyökereket egy számológép segítségével, és kerekítse 0,001 pontossággal..
√ 15 - 2 · 4 = √ 15 - 8 = √ 7 ≈ 2646
Hogyan lehet megtalálni a négyzetgyökét? Tulajdonságok, példák a gyökérkivonásra
A matematika akkor született, amikor egy ember felismerte önmagát, és elkezdett pozícionálni magát a világ autonóm egységének. A vágy, hogy mérjük, hasonlítsuk és kiszámítsuk, ami körülveszi Önt - ez volt a napjaink egyik alapvető tudományának alapja. Eleinte ezek az elemi matematika részecskéi voltak, amelyek lehetővé tették a számok fizikai kifejezéseikkel való összekapcsolását, később a következtetéseket csak elméletileg (az elvontosság miatt) kezdték bemutatni, de egy idő után, ahogyan az egyik tudós elmondta: "a matematika elérte a komplexitás felső határát, amikor eltűntek tőle. minden szám. " A "négyzetgyök" fogalma akkor jelent meg, amikor empirikus adatokkal könnyen támasztható alá, túlmutatva a számítási síkon..
Hogy kezdődött az egész
A gyökér első említését, amelyet jelenleg √-nek jelölnek, a babiloni matematikusok írásaiban rögzítették, akik megalapozták a modern számtani alapot. Természetesen kissé úgy néztek ki, mint a jelenlegi forma - az akkoriban működő tudósok először terjedelmes tablettákat használtak. De a BC második évezredében. e. levontak egy megközelítő számítási képletet, amely megmutatta, hogyan lehet kibontani a négyzetgyököt. Az alábbi képen egy olyan kő látható, amelyen a babiloni tudósok faragták a √2 származási folyamatot, és olyan igaznak bizonyult, hogy a válasz eltérése csak a tizedes tizedes pontban található meg..
Ezenkívül a gyökért akkor is alkalmazták, ha a háromszög oldalát meg kellett találni, feltéve, hogy a másik kettő ismert. Nos, ha másodfokú egyenleteket oldunk meg, akkor nincs helye a gyökérkivonáshoz.
A babiloni munkák mellett a cikk tárgyát a „Matematika kilenc könyvben” című kínai munkában is megvizsgálták, és az ókori görögök arra a következtetésre jutottak, hogy minden olyan szám, amelyből nem lehet gyökér kinyerni maradék nélkül, irracionális eredményt ad..
E kifejezés eredete a szám arab ábrázolásához kapcsolódik: az ókori tudósok úgy gondolták, hogy egy gyökérből tetszőleges számú négyzet nő a gyökérből, mint egy növény. Latinul ez a szó sugárzónak hangzik (nyomon követheti a mintát - minden, amelynek „gyökér” szemantikai terhelése van, mássalhangzó, legyen az retek vagy radikulitisz).
A következő generációk tudósai felvetették ezt az ötletet, Rx-nek jelölve. Például a XV. Században annak jelzésére, hogy a négyzetgyököt egy tetszőleges számból nyerik ki, R 2 a írták. A modern megjelenéshez ismert „pipa” csak a 17. században jelent meg Rene Descartesnak köszönhetően.
Napjaink
Matematikai szempontból az y négyzetgyöke azon z szám, amelynek négyzete y. Más szavakkal, z 2 = y egyenértékű √y = z-vel. Ez a meghatározás azonban csak a számtani gyökérre vonatkozik, mivel magában foglalja a kifejezés nem-negatív jelentését. Más szavakkal, √y = z, ahol z nagyobb vagy egyenlő, mint 0.
Általános esetben, ami érvényes az algebrai gyökér meghatározására, a kifejezés értéke lehet pozitív vagy negatív is. Tehát, mivel z 2 = y és (-z) 2 = y, akkor √y = ± z vagy √y = | z |.
Annak a ténynek köszönhetően, hogy a matematika szeretete csak a tudomány fejlődésével nőtt, különféle megnyilvánulások vannak a ragaszkodásban, nem száraz számításokban. Például olyan szórakoztató események mellett, mint a Pi nap, a négyzetgyök ünnepeit is ünnepeljük. Száz év alatt kilenc alkalommal ünneplik őket, és a következő elv szerint határozzák meg: a napot és a hónapot jelző számoknak az év négyzetgyökének kell lenniük. Tehát legközelebb 2016. április 4-én ünnepeljük ezt az ünnepet.
A négyzetgyök tulajdonságai az R mezőn
- A termék négyzetgyöke megegyezik a négyzetgyök termékével, feltéve, hogy a gyökök kifejezése legalább 0 vagy egyenlő.
- Ha a négyzetgyököt hatalomra növeli, elegendő ehhez a gyökér kifejezést ehhez a hatalomhoz emelni, feltéve hogy az nagyobb nullánál.
- A tört négyzetgyöke megegyezik a számláló gyökerével, osztva a nevező gyökerével, feltéve, hogy a számláló radikális kifejezése legalább 0 vagy azzal egyenlő, és a nevező radikális kifejezése szigorúan nagyobb, mint 0.
- A gyökér kifejezés, ha nullánál nagyobb, több részre osztható, amelyekből viszont megengedett a gyökér kinyerése. Például: √75 = √25 * 3 = 5√3.
- A gyökér jele alatt bármilyen számot megadhat, négyzetre osztva. Például: 5√8 = √25 * √8 = √200.
Szinte minden matematikai kifejezés alatt geometriai alapok vannak; ez a sors nem telt el √y-nél, amelyet az y területtel rendelkező négyzet oldalaként határozunk meg..
Hogyan lehet megtalálni a szám gyökerét??
Számos számítási algoritmus létezik. A legegyszerűbb, de meglehetősen nehézkes a szokásos számtani számítás, amely a következőkből áll:
1) abból a számból, amelynek gyökerére szükségünk van, a páratlan számokat egymás után vonjuk le - mindaddig, amíg a kimenet fennmaradó része nem lesz kevesebb, mint a kivont szám, vagy akár nulla. A mozdulatok száma végül a kívánt szám lesz. Például a 25 négyzetgyökének kiszámítása:
A következő páratlan szám 11, a maradék a következő: 1 n (2n)! / (1-2n) (n!) 2 (4 n)) y n, ahol n értéke 0 és 0 között van
A z = √y függvény grafikus ábrázolása
Vegye figyelembe a z = √y elemi függvényt az R valós számok mezején, ahol y nagyobb vagy egyenlő nullával. Ütemterve a következő:
A görbe az eredettől nő és szükségszerűen keresztezi a pontot (1; 1).
A z = √y függvény tulajdonságai az R valós számok mezején
1. A kérdéses függvény meghatározásának tartománya a nulla és a végtelen közötti intervallum (a nullát is tartalmazza).
2. A kérdéses függvény értéktartománya a nulla és a végtelen közötti intervallum (a nullát ismét bele kell foglalni).
3. A függvény csak a (0; 0) pontban veszi a minimális értéket (0). Nincs maximális érték.
4. A z = √y függvény sem páratlan, sem páratlan.
5. A z = √y függvény nem periodikus.
6. A z = √y függvény gráfjának metszéspontja a koordinátatengelyekkel csak egy: (0; 0).
7. A z = √y függvény gráfjának metszéspontja szintén e függvény nulla értéke.
8. A z = √y függvény folyamatosan növekszik.
9. A z = √y függvény csak pozitív értékeket vesz fel, ezért grafikonja elfoglalja az első koordináta-szöget.
A z = √y függvény képének beállításai
A matematikában a bonyolult kifejezések kiszámításának megkönnyítése érdekében a négyzetgyök megírásához néha erő formát kell használni: √y = y 1/2. Ez az opció például egy funkció hatalomra emelésekor: (√y) 4 = (y 1/2) 4 = y 2. Ez a módszer jó reprezentációt jelent az integrációtól való megkülönböztetés során, mert ennek köszönhetően a négyzetgyök rendes teljesítményfunkciónak tűnik..
És a programozás során a √ szimbólum cseréje sqrt betűk kombinációja.
Négyzetgyök a C komplex mezőben
Összességében éppen e cikk tárgya ösztönözte a C komplex számok mezőjének felfedezését, mivel a matematikusokat kísértetjárta az a kérdés, hogy a negatív számból egyenletes gyököt kell-e szerezni. Így megjelent az i képzeletbeli egység, amelyet egy nagyon érdekes tulajdonság jellemez: négyzete -1. Ennek köszönhetően a kvadratikus egyenletek is megoldást kaptak negatív diszkriminanciával. C-ben a négyzetgyök esetében ugyanazok a tulajdonságok relevánsak, mint az R-ben, az egyetlen, hogy a korlátozásokat eltávolítják a radikális kifejezésből.
Gyökér
Történelmi gyökérfejlesztés
Filogenetikus szempontból a gyökér később, mint a szár és a levél keletkezett - a növények szárazföldi életre való áttérésével összefüggésben, és valószínűleg a gyökérszerű földalatti ágakból származtak. A gyökérnek nincs sorrendben levelek és rügyei. Jellemzője az apikális növekedés hossza, oldalsó ágai a belső szövetekből származnak, a növekedési pontot gyökérsapkával borítják. A gyökérzet a növényi szervezet egész életében kialakul. A gyökér néha lerakódás helyét képezheti a tápanyag-ellátásban. Ebben az esetben módosul.
A gyökér típusai
A fő gyökér a csíragyökérből alakul ki a mag csírázása során. Az oldalsó gyökerek tőle nyúlnak.
A kiegészítő gyökerek a száron és a leveleken alakulnak ki.
A laterális gyökerek bármely gyökér ága.
Minden gyökér (fő, oldalsó, alárendelt) elágazik, ami jelentősen megnöveli a gyökérzet felületét, és ez hozzájárul a növény jobb erősítéséhez a talajban és javítja táplálékát.
A gyökérrendszerek típusai
A gyökérzet két fő típusa létezik: a mag, amelynek jól fejlett fő gyökér, és a rostos. A rostos gyökérrendszer számos azonos méretű alárendelt gyökérbõl áll. A gyökerek teljes tömege oldalsó vagy kiegészítő gyökerekből áll, és lebenynek tűnik.
A magasan elágazó gyökérzet hatalmas nedvszívó felületet képez. például,
- a téli rozs gyökereinek teljes hossza eléri a 600 km-t;
- gyökérszőrzet hossza - 10 000 km;
- teljes gyökérfelület - 200 m 2.
Ez sokszor nagyobb, mint a felületi tömeg.
Ha a növénynek jól meghatározott fő gyökere van, és alárendelt gyökerei fejlődnek ki, akkor vegyes típusú gyökérzet (káposzta, paradicsom) alakul ki.
A gyökér külső szerkezete. A gyökér belső szerkezete
Gyökérzónák
Gyökér eset
A gyökér hosszában nő a csúcsán, ahol az oktatási szövetek fiatal sejtjei találhatók. A növekvő részt gyökérfedél borítja, amely megvédi a gyökér hegyét a károsodástól, és megkönnyíti a gyökér mozgását a talajban a növekedés során. Ez utóbbi funkciót a gyökérsapka nyálkahártyával ellátott külső falának a tulajdonsága miatt hajtják végre, amely csökkenti a gyökér és a talajrészecskék közötti súrlódást. A talaj részecskéi egymástól is elmozdulhatnak. A gyökérsapka sejtek élők, gyakran keményítőszemcséket tartalmaznak. A kupak sejtjeit folyamatosan frissítjük a megosztás miatt. Részt vesz a pozitív geotrop reakciókban (a gyökér növekedésének iránya a föld közepéhez).
Az osztódási zóna sejtjei aktívan osztódnak, ennek a zónának a hossza különbözik az egyes fajok és ugyanazon növény különböző gyökerei esetében.
Az osztási zóna mögött egy nyújtási zóna (növekedési zóna) található. Ennek a zónának a hossza nem haladhatja meg a néhány millimétert.
Amint a lineáris növekedés befejeződik, megkezdődik a gyökérképződés harmadik szakasza - differenciálódása, a sejtek differenciálódási és specializálódási zónája (vagy a gyökérszőrzet és abszorpció zója) alakul ki. Ebben a zónában az epilema (rhizoderma) külső rétege gyökérszőrrel, az elsődleges kéreg és a központi henger rétege már megkülönböztetve van.
Gyökérszőrzet
A gyökér szőrszálak a gyökeret lefedő külső sejtek erősen hosszúkás kinövései. A gyökérszőrök száma nagyon nagy (1 mm2-enként 200-300 szőrszálakonként). Hosszuk eléri a 10 mm-t. A haj nagyon gyorsan kialakul (fiatal alma palántákban 30–40 órán belül). A gyökérszőr rövid élettartamú. 10-20 napon belül elhalnak, és újak nőnek a gyökér fiatal részén. Ez biztosítja az új talajhorizont gyökereinek kialakulását. A gyökér folyamatosan növekszik, egyre több új részet képezve a gyökérszőrnek. A haj nemcsak az anyagok kész oldatát képes felszívni, hanem hozzájárul a talaj egyes anyagának oldódásához is, majd felszívja azokat. A gyökérzet, ahol a gyökérszőr meghal, egy ideig képes felszívni a vizet, de aztán parafaval borítja, és elveszíti ezt a képességet.
A haj héja nagyon vékony, ami megkönnyíti a tápanyagok felszívódását. Szinte az egész hajsejtet egy vákuum foglalja el, amelyet vékony citoplazmaréteg vesz körül. A mag a sejt tetején található. A sejt körül nyálkahártya képződik, amely elősegíti a gyökérszőröknek a talajrészecskékhez történő kötődését, ami javítja azok érintkezését és növeli a rendszer hidrofilitását. Az abszorpciót elősegíti az ásványi sókat feloldó savak (szénsav, almasav, citromsav) gyökérszőrök általi elosztása.
A gyökérszőrök szintén mechanikai szerepet játszanak - támogatják a gyökér csúcsát, amely a talaj részecskéi között halad át.
A mikroszkóp alatt a gyökér keresztmetszete az abszorpciós zónában megmutatja annak szerkezetét a sejtek és a szövetek szintjén. A gyökér felületén rizódermája van, alatta a kéreg. A kéreg külső rétege az exoderma, befelé pedig a fő parenchima. Vékony falú élő sejtjei tárolási funkciót látnak el, tápanyagok oldatát sugárirányban hajtják végre - a szívószövetből a fa edényeiig. Ezekben a növény számára számos szerves anyag szintézise zajlik. A kéreg belső rétege az endoderma. A cortexből a központi hengerbe az endodermális sejteken keresztül tápláló oldatok csak a sejt protoplasztján jutnak át.
A kéreg a gyökér központi hengerét veszi körül. Egy olyan sejtréteggel határos, amely hosszú ideig megtartja az osztódási képességet. Ez egy pericycle. A periciklusos sejtek oldalsó gyökereket, kiegészítő veséket és másodlagos oktatási szöveteket eredményeznek. A pericikliumből befelé, a gyökér közepén vezetőképes szövetek vannak: háncs és fa. Együtt egy radiális vezetőképet képeznek.
A gyökérvezetési rendszer vezet vizet és ásványi anyagokat a gyökértől a szárig (felfelé irányuló áram) és a szerves anyagokat a szártól a gyökérig (lefelé irányuló áram). Ér-rostos kötegekből áll. A fénysugár fő alkotóelemei a phloem szakaszok (amelyek mentén az anyagok a gyökérhez jutnak) és a xylem (amelyek mentén az anyagok a gyökérről mozognak). A phloem fő vezető elemei a szitacsövek, a xylem-trachea (edények) és a tracheidák.
A gyökér életfolyamatai
Gyökérvízszállítás
A víz gyökérszőrökkel történő elszívása a talaj tápanyag-oldatából és az elsődleges kéreg sejtjeinek sugárirányú vezetése az endodermában az áthaladó cellákon keresztül a sugárirányú vezető sugár xilémájáig. A gyökérszőrzet általi vízfelvétel intenzitását szívóerőnek (S) nevezzük, ez megegyezik az ozmotikus (P) és a turgor (T) nyomás különbségével: S = P-T.
Ha az ozmotikus nyomás megegyezik a turgor nyomással (P = T), akkor S = 0, a víz nem folyik be a gyökérszőrzet cellájába. Ha az anyagok koncentrációja a talaj tápanyag-oldatában nagyobb, mint a sejt belsejében, akkor a víz elhagyja a sejteket és megkezdődik a plazmolízis - a növények elhervadnak. Ez a jelenség megfigyelhető a száraz talaj körülményei között, valamint az ásványi műtrágyák túlzott kijuttatásakor is. A gyökérsejteken belül a gyökér szívószilárdsága a rizodermától a központi henger felé növekszik, tehát a víz a koncentráció-gradiens mentén mozog (azaz egy nagyobb koncentrációjú helyről egy alacsonyabb koncentrációjú helyre), és olyan gyökérnyomást hoz létre, amely a vízoszlopot emeli a xylem edényeken keresztül. felfelé áramot képezve. Ez megtalálható a levél nélküli tavasztörzsön, amikor a „juice” összegyűjtésre kerül, vagy a vágott csonkokon. A víz kiáramlása a fából, friss csontokból, levelekből, a növények "sírására" hívják. Amikor a levelek virágoznak, szívóerőt képeznek, és magukhoz vonzzák a vizet - mindegyik edényben folyamatos vízoszlop alakul ki - kapilláris feszültség. A gyökérnyomás a vízáram alsó motorja, a levelek szívóereje pedig a felső. Ezt egyszerű kísérletekkel lehet megerősíteni..
Gyökérszívás
Cél: a gyökér fő funkciójának megismerése.
Mit csinálunk: egy nedves fűrészporon termesztett növény rázza le a gyökérzetét, és dobja a gyökereit egy pohár vízbe. A víz tetejére, hogy megvédje azt a párolgástól, öntsen egy vékony réteg növényi olajat, és jegyezze fel a vizet.
Amit megfigyeltünk: egy-két nap alatt a tartályban lévő víz a jel alá esett.
Eredmény: ezért a gyökerek beszívtak vizet és táplálták a levelekig.
Még mindig elvégezhet egy kísérletet, amely bizonyítja a tápanyagok felszívódását a gyökérben.
Mit csinálunk: levágjuk a növény szárát, 2-3 cm magas csonkot hagyva, 3 cm hosszú gumi csövet tetünk a csonkra, és a felső végére 20-25 cm magas ívelt üvegcsövet rakunk.
Amit megfigyelünk: egy üvegcsőben a víz felmegy és kifolyik.
Eredmény: ez bizonyítja, hogy a gyökér felszívja a vizet a talajból a szárba.
Befolyásolja-e a víz hőmérséklete a vízgyökér abszorpciójának intenzitását??
Cél: megtudja, hogy a hőmérséklet hogyan befolyásolja a gyökért.
Mit csinálunk: az egyik pohárnak meleg vízzel (+ 17-18ºС), a másiknak hidegvel (+ 1-2ºС) kell lennie..
Amit megfigyelünk: az első esetben a víz bőségesen szabadul fel, a második esetben a víz kicsi, vagy teljesen leáll.
Eredmény: ez bizonyíték arra, hogy a hőmérséklet nagyban befolyásolja a gyökért..
A meleg vizet a gyökerek aktívan felszívják. A gyökérnyomás emelkedik.
A hideg vizet a gyökerek rosszul szívják fel. Ebben az esetben a gyökérnyomás csökken.
Ásványi táplálkozás
Az ásványi anyagok fiziológiai szerepe nagyon nagy. Ezek képezik a szerves vegyületek szintézisének alapját, valamint olyan tényezőket, amelyek megváltoztatják a kolloidok fizikai állapotát, azaz közvetlenül befolyásolják a protoplaszt anyagcserét és szerkezetét; katalizátorként működik a biokémiai reakciókban; befolyásolja a sejt turgorját és a protoplazma permeabilitását; a növényi szervezetek elektromos és radioaktív jelenségeinek központjai.
Megállapítást nyert, hogy a normál növényfejlődés csak akkor lehetséges, ha a tápanyag-oldatban három nemfémet tartalmaz: nitrogén, foszfor és kén, valamint - és négy fémet - kálium, magnézium, kalcium és vas. Ezeknek az elemeknek mindegyike egyedi jelentéssel bír, és nem helyettesíthető másikkal. Ezek makroelemek, koncentrációjuk a növényben 10–10%. A növények normál fejlődéséhez mikroelemekre van szükség, amelyek koncentrációja a sejtben 10 -5 -10-3%. Ez bór, kobalt, réz, cink, mangán, molibdén stb. Ezek az elemek a talajban vannak, de néha nem elegendő mennyiségben. Ezért ásványi és szerves műtrágyákat alkalmaznak a talajra.
A növény általában akkor növekszik és fejlődik, ha az összes szükséges tápanyagot a gyökereket körülvevő környezet tartalmazza. A legtöbb növény ilyen környezete a talaj..
Gyökér lélegzet
A növény normál növekedéséhez és fejlődéséhez szükséges, hogy friss levegő lépjen be a gyökérzetbe. Ellenőrizze, hogy így van-e?
Cél: Szüksége van-e a levegőre gyökérre??
Mit csinálunk: vegyen két azonos edényt vízzel. Minden edénybe elhelyezzük fejlődő palántákat. Minden nap az egyik edényben a vizet permetezőpisztollyal telítjük levegővel. Öntsön egy vékony réteg növényi olajat a víz felületére a második edényben, mivel ez késlelteti a levegő áramlását a vízbe.
Amit megfigyeltünk: egy idő múlva a második edényben lévő növény megáll, szárad és végül meghal.
Eredmény: A növény elpusztul a gyökér légzéséhez szükséges levegő hiánya miatt.
Gyökérmódosítások
Egyes növényekben a tápanyagok lerakódnak a gyökerekben. Felhalmozódnak a szénhidrátok, ásványi sók, vitaminok és más anyagok. Az ilyen gyökerek vastagsága erősen növekszik és szokatlan megjelenésűek. A gyökér és a szár is részt vesz a gyökérnövények kialakulásában.
Roots
Ha tartalékanyagok halmozódnak fel a fő gyökérben és a fő hajtás szárának alján, gyökérnövények (sárgarépa) képződnek. A gyökérnövények főként kétéves növények. Az első életévben nem virágznak, és sok tápanyagot felhalmoznak a gyökérnövényekben. Másodszor - gyorsan virágzanak, tárolt tápanyagok felhasználásával, gyümölcsöt és magot képeznek.
Gyökérgumók
A dáliában a tartalékanyagok felhalmozódnak az alárendelt gyökerekben, gyökérgumókat képezve.
Bakteriális csomók
A lóhere, a csillagfürt és a lucerna oldalsó gyökerei különösképpen megváltoznak. A baktériumok fiatal oldalsó gyökerekben telepednek le, ami hozzájárul a gáznemű nitrogén asszimilációjához a talaj levegőjében. Az ilyen gyökerek csomók formájában fordulnak elő. Ezeknek a baktériumoknak köszönhetően ezek a növények képesek nitrogénszegény talajon élni, és termékenyösebbé teszik őket..
felemelt
Az árapályzónában növekvő rámpán gyökér alakul ki. A levélzet hajtásait magasan a víz felett tartják bizonytalan, buta talajban..
Légi
A faágakon élő trópusi növények légi gyökereket fejlesztenek ki. Gyakran megtalálhatók orchideákban, bromeliádokban, néhány páfrányban. A légi gyökerek szabadon lógnak a levegőben, nem érik el a talajt, és elnyelik az eső vagy a harmat által rájuk eső nedvességet.
övvisszahúzók
A hagymában és a magban, például a krókuszban, a számos filiform gyökér között számos vastagabb, úgynevezett visszahúzó gyökér van. Csökkenő, az ilyen gyökerek a mélyedést a talajban a mélyebbre húzzák.
Oszlopos
A Ficus oszlopos, megemelkedett gyökereket vagy támaszokat fejleszt.
A talaj mint a gyökerek élőhelye
A növények talaja az a környezet, amelytől víz és tápanyagok származnak. Az ásványi anyagok mennyisége a talajban az eredeti kőzet sajátosságaitól, az organizmusok aktivitásától, a növények életképességétől és a talaj típusától függ..
A talajrészecskék a gyökerekkel versenyeznek a nedvességért, tartva azt a felületükkel. Ez az úgynevezett kötött víz, amelyet higroszkóposra és filmre osztanak. A molekuláris vonzerő erők tartják. A növény számára rendelkezésre álló nedvességet kapilláris víz képviseli, amely a talaj sekély pórusaiba koncentrálódik.
Antagonista kapcsolat alakul ki a nedvesség és a talaj légifázisa között. Minél nagyobb a talaj pórusai, annál jobb a talajok gázszabályozása, annál kevesebb a talaj nedvességtartalma. A legelőnyösebb víz-levegő üzemmódot a strukturális talajban tartják fenn, ahol a víz és a levegő egyidejűleg vannak, és nem zavarják egymást - a víz kitölti a szerkezeti egységekben lévő kapillárisokat, és a levegő - nagy pórusok közöttük.
A növény és a talaj közötti kölcsönhatás jellege nagymértékben függ a talaj felszívódási képességéről - a kémiai vegyületek megtartásának vagy megkötésének képességéről..
A talaj mikroflóra lebontja a szerves anyagokat egyszerűbb vegyületekké, részt vesz a talaj szerkezetének kialakításában. Ezen folyamatok jellege a talaj típusától, a növényi maradványok kémiai összetételétől, a mikroorganizmusok fiziológiai tulajdonságaitól és más tényezőktől függ. A talajállatok részt vesznek a talajszerkezet kialakulásában: annelidák, rovarlárvák stb..
A talajban zajló biológiai és kémiai folyamatok kombinációjának eredményeként komplex szerves anyagok komplexe képződik, amelyet a "humusz" kifejezéssel kombinálnak.
Víznövényes módszer
A vízi kultúrák tapasztalatai alapján megállapítottuk, hogy milyen sókra van szükség a növénynek, és milyen hatással van a növény növekedésére és fejlődésére. A vízi növények módszere a növények nem a talajban, hanem ásványi sók vizes oldatában történő termesztése. A kísérlet céljától függően kizárhat egyetlen sót az oldatból, csökkentheti vagy növelheti annak tartalmát. Megállapítást nyert, hogy a nitrogéntartalmú műtrágyák hozzájárulnak a foszfortartalmú növények - a korai gyümölcsérés és a káliumtartalmú növények - növekedéséhez a szerves anyag leggyorsabb kiáramlásához a levelekről a gyökérre. Ebben a tekintetben a vetés előtt vagy a nyár első felében javasolt nitrogéntartalmú műtrágyákat alkalmazni, amelyek foszfort és káliumot tartalmaznak - a nyár második felében..
A vízi kultúrák módszerével nemcsak a növény makroelemekre való szükségességét lehetett megállapítani, hanem tisztázni is lehet a különféle nyomelemek szerepét.
Jelenleg vannak olyan esetek, amikor a növényeket hidroponikus és aeroponikus módszerekkel termesztik.
Hidroponika - növények növekedése kavicsos edényekben. A szükséges elemeket tartalmazó tápanyagoldatot alulról táplálják az edényekbe..
Az Aeroponics egy légi növénykultúra. Ezzel a módszerrel a gyökérzet a levegőben van, és automatikusan (egy órán belül többször) gyenge tápanyag-oldattal permetezzük.
Hogyan néz ki a gyökér?
Egy szám négyzetgyöke olyan szám, amelynek négyzete (az ön szorzásának eredménye) egyenlő, vagyis az egyenlet megoldása a változóval szemben. [1] [2] Ebben a fogalomban gyakran szűkebbre - az ún. számtani négyzetgyök - nemnegatív szám.
Racionális számok
A racionális szám gyöke csak akkor racionális szám, ha és (a közös tényezők csökkentése után) a természetes számok négyzete.
A gyökér folyamatos frakciója egy racionális számból mindig periodikus (valószínűleg egy preperioddal), amely lehetővé teszi, hogy lineáris ismétlődésekkel könnyen kiszámítsuk a jó racionális közelítéseket, és másrészt korlátozzuk a közelítés pontosságát: frac<1>
Valós számok
A természetes számok esetében az egyenlet nem mindig oldható meg racionális számokban, ami új numerikus mezők megjelenését eredményezte. A kiterjesztések közül a legrégebbi a valós (valós) számok mezője.
Tétel. Bármely a pozitív számhoz pontosan két valós gyökér létezik, amelyek abszolút értékben egyenlők és a jelben ellentétesek. [5]
A pozitív szám nem negatív négyzetgyökét számtani négyzetgyöknek nevezzük, és a radikális jel használatával jelöljük. [6]
Komplex számok
A komplex megoldások számának területén mindig két, a jelekben különbözik egymástól (kivéve a nulla négyzetgyökét). A komplex szám gyökerét gyakran megnevezik, ugyanakkor ezt a megnevezést óvatosan kell használni. Gyakori hiba:
A komplex szám négyzetgyökének kinyeréséhez célszerű használni a komplex szám exponenciális jelölését: if
ahol a modul gyökerét aritmetikai érték értelemben kell érteni, és k a k = 0 és k = 1 értékeket veheti fel, tehát ennek eredményeként a válaszban két eltérő eredmény érhető el.
Anyag elemzés
A négyzetgyököt a valódi változó függvényének is hívják, amely a gyökér számtani értékével van társítva mindegyikhez. [7] Ez a funkció a c teljesítményfunkció különleges esete. Ez a funkció simán működik 0 "src =" http://upload.wikimedia.org/math/d/b/0/db08215f05646b5b548b2e4fe041bc26.png "/> esetén, de nulla esetén folyamatos a jobb oldalon, de nem különböztethető meg.
Az általánosítások
A négyzetgyökereket formák egyenleteinek megoldásaként vezetjük be más objektumokhoz: mátrixok [8], függvények [9], operátorok [10] stb. Mûveletként mûveletként meglehetõsen önkényes multiplikatív mûveleteket lehet használni, például egy szuperpozíciót.
Az algebra a következő formális meghatározást használja: Legyen egy groupoid és. Az elemet négyzetgyöknek nevezzük, ha.
Négyzetgyök az elemi geometriában
A négyzetgyökerek szorosan összefüggenek az elemi geometriával: ha megadunk egy 1 hosszúságú szegmenst, akkor az iránytű és az vonalzó segítségével felépíthetjük azokat és csak azokat a szegmenseket, amelyek hosszát egészeket tartalmazó kifejezések írják, a négy aritmetikai művelet jeleit, négyzetgyökereket és semmi mást. [tizenegy]
Négyzetgyök a számítástechnikában
Számos funkcionális szintű programozási nyelvben (valamint a LaTeX jelölőnyelvekben) a négyzetgyök funkciót sqrt-ként jelölik (a négyzetgyökérből).
Négyzetgyök algoritmusok
Egy adott szám négyzetgyökének megkeresését vagy kiszámítását nevezzük a (négyzet) gyökér kibontásához.
Taylor sorozat bővítése
Aritmetikai négyzetgyök kinyerése
A szám négyzeteknél a következő egyenlőségek igazak:
Vagyis megtudhatja egy szám négyzetgyökének egész számát úgy, hogy kivonja az összes páratlan számot egymás után, amíg a maradék kevesebb, mint a következő kivont szám vagy egyenlő nullával, és megszámolja a végrehajtott műveletek számát. Például, mint ez:
3 lépés megtörtént, a 9 négyzetgyöke 3.
Ennek a módszernek az a hátránya, hogy ha a kivont gyökér nem egész szám, akkor csak az egész részét tudja megtudni, de nem pontosabban. Ugyanakkor ez a módszer elérhető azoknak a gyermekeknek is, akik a négyzetgyök kinyerését igénylő legegyszerűbb matematikai feladatokat oldják meg.
durva becslés
Számos algoritmus az S pozitív valós szám négyzetgyökéinek kiszámításához megköveteli a kezdeti értéket. Ha a kezdeti érték túl messze van a valódi gyökérértéktől, a számítás lelassul. Ezért hasznos egy durva becslés, amely nagyon pontatlan, de könnyen kiszámítható. Ha S ≥ 1, akkor D legyen a tizedespont bal oldalán lévő S számjegyek száma. Ha S Ha D páratlan, D = 2n + 1, akkor használja. Ha D páros, D = 2n + 2, akkor használja
A kettőt és a hatot azért használják, mert
Ha bináris rendszerben dolgozik (mint a számítógép belsejében), más becslést kell használni (itt D a bináris számjegyek száma).
Geometrikus négyzetgyök kinyerése
Különösen, ha, a, akkor [12]
Iteratív analitikai algoritmus
Oszlop
Ez a módszer lehetővé teszi, hogy megkeresse a valós szám gyökerének hozzávetőleges értékét az adott pontossággal. Ezt a módszert akár egy hallgató is elsajátíthatja. A módszer hátrányai között szerepel a számítás növekvő bonyolultsága a talált számok számának növekedésével.
A gyökér kézi extrakciójához egy oszlophoz való felosztáshoz hasonló rekordot használunk. A szám meg van írva, amelynek gyökérját keresik. Jobbra fokozatosan megkapjuk a kívánt gyökér számát. Hagyjuk kibontani a gyökér számot egy véges számú tizedes pontossággal. Először, szellemileg vagy jelekkel, az N számot két számjegyből álló csoportokra osztjuk, a tizedespontotól balra és jobbra. Ha szükséges, a csoportokat nullákkal egészítik ki - az egész részt a bal oldalon, a jobb oldalon a törtet kiegészítve egészítik ki. Tehát a 31234.567 ábrázolható mint 03 12 34. 70. Az osztással ellentétben a bontást a 2 számjegyből álló csoportok hajtják végre.
Algebra
A forrásból vett leckeborító.
Tanterv:
Számtani négyzetgyök
Fontolja meg a problémát. Tudjuk, hogy a négyzet hossza 14 cm. Mekkora a négyzet területe? A geometria szempontjából tudjuk, hogy a kérdés megválaszolásához önmagában meg kell szoroznia az oldalát, vagyis négyzet alakba kell állítania:
S = 14,14 = 196 cm2
Most fontolja meg az inverz problémát. Ismert, hogy a négyzet területe 196 cm 2. Mekkora az oldal hossza? Nyilvánvaló, hogy ez 14 cm. A válasz megtalálásához az ellenkezőjét hajtottuk végre, a második fokozatba való emeléssel. A matematikában négyzetes gyökér extrakciónak nevezik, maga a 14-es számot pedig 196-nek négyzetgyökének nevezik.
Tehát, az 5 a 25 négyzetgyöke, azóta
A négyzetgyök gyakran nem egész szám, hanem törtszám. Tehát a 2 gyökere körülbelül 1,414213562 (a gyökérérték kiszámításának módszereit ugyanabban a leckében tárgyaljuk, de később).
Vegye figyelembe, hogy néha a számhoz nem egyet, hanem két négyzetgyököt is megadhat. Jelekben különböznek, de egybeesnek az abszolút értékkel (modulus). Tehát a szám (–5) egyben a 25 négyzetgyöke:
Általában minden pozitív számnak 2 négyzetgyökere van, bármelyik negatív számnak nincs egyáltalán, és csak a nullanak van egy gyökérértéke - maga a nulla. Bizonyítsd be.
Legyen egy tetszőleges szám, amelynek a négyzetgyökét ki kell számítani. Jelölje meg ezt a gyökér x-ként Ezután definíció szerint elkészítheti az egyenletet:
Próbáljuk meg grafikusan megoldani. Ehhez készítsen külön grafikonokat az egyenlőség bal és jobb oldalára. Mindkét gráfot, valamint y = a és y = x 2, már a 7. osztályban építettük. Ennek eredményeként három esetet kapunk:
Látható, hogy a> 0 esetén a gráfok 2 pontban keresztezik egymást, vagyis két négyzetgyök van, amelyek csak a jeleikben különböznek egymástól.
A határozottság érdekében a matematikusok bevezették a számtani négyzetgyök fogalmát.
Mondjuk még egyszer, hogy egy számnak két négyzetgyöke lehet. Például a 25 szám –5 és 5:
Az aritmetika a négyzetgyök, amelynek NINCS mínuszjele van..
Van egy speciális szimbólum a számtani négyzetgyökre, amelyet a radikális jelnek vagy egyszerűen a gyökér jelének hívnak. Ez így néz ki:
Ha be kell mutatnia, hogy például a 25 számtani négyzetgyöke (gyakran csak azt mondják, hogy a gyökér) 5, akkor a következő rekordot kapja:
A radikális jel alatt lehet egy változókat tartalmazó kifejezés is. Megnevezéséhez a radikális kifejezés kifejezést használjuk. Tehát a nyilvántartásban
az x2 + 2x + 2 kifejezés radikális.
Már rájöttünk, hogy lehetetlen kivonni a négyzetgyököt a negatív számból, mivel minden valós szám önmagában megszorozva nem negatív lesz. Ezért ha egy negatív szám a radikális jel alatt van, akkor azt mondják, hogy a kifejezésnek nincs értelme (csakúgy, mint a frakcionált kifejezésnek, amelynek a nevezőben nulla van). Tehát a értelmetlen kifejezések a következők:
Ha egy változó a gyökér alatt van, akkor bizonyos értékek számára a gyökérrel való kifejezésnek értelme van, másoknak pedig nem. Szóval, a kifejezés
ha x = 9 értéke kettővel egyenlő:
De ha x = 4, akkor értelmetlen kifejezést kapunk:
Az irracionális szám fogalmának tanulmányozásával már a gyökerekkel szembesülünk. Történelmileg a 2 gyökere volt az első szám, amelynél bizonyították irracionalitását. Azokat a számokat, amelyek négyzetgyöke egész szám, teljes négyzeteknek nevezzük. Példák a teljes négyzetekre:
- 4 (mert 2 2 = 4);
- 9 (3 = 9);
- 16 (4 2 = 16).
Minden természetes szám esetében, amely nem teljes négyzet, bebizonyíthatjuk, hogy négyzetgyöke irracionális szám.
Érdemes megjegyezni, hogy a gyökerek irracionalitásának felfedezése megváltoztatta az ókori görögök gondolatait a számokról és óriási szerepet játszott a matematika fejlődésében.
Most fontolja meg a műveletek sorrendjét a gyökerekkel kifejezve. Először a műveleteket mindig zárójelben, majd egy radikális jel alatt hajtják végre, majd egy exponenciálásra, majd csak egyéb aritmetikai műveletekre kerül sor. Például van egy kifejezés
Megmutatjuk a műveletek sorozatát, vörös színben kiemelve:
Ha a számítások során a gyökér nem kapott egy teljes négyzetet, akkor azt úgy kell hagyni, ahogy van, és a számításokat folytatni kell, például:
Ugyanazon gyökerek összeadhatók és kivonhatók egymással:
A négyzetgyök meghatározása magában foglalja a nyilvánvaló azonosságot:
Íme egy példa konkrét számokkal:
Fontos azonban figyelembe venni, hogy a negatív szám nem lehet a radikális jel alatt. Tehát a felvétel hibás lesz
mivel a bal oldali radikális alatt negatív szám van. De a következő bejegyzés megengedett:
mert a bal oldali radikális jel alatt pozitív mennyiség van (- 3) • (- 3) = 9.
Emlékezzünk arra, hogy egy szám modulja az értékét a jel figyelembevétele nélkül veszi figyelembe. A szögletes zárójelek a modul megjelölésére szolgálnak:
A következő azonosítót írhatjuk, amely összeköti a szám modulját a gyökérrel:
Négyzetgyök számítása
Korábban az "oszlop" módszerrel számtani műveleteket végeztünk. És hogyan lehet kiszámítani a négyzetgyökét? Számos trükkö van, ezek közül a legegyszerűbbet vesszük figyelembe.
Nyilvánvaló, hogy minél nagyobb a szám, annál nagyobb a négyzete. Például 5> 4, tehát 5 2> 4 2. Ezért az ellenkezője is igaz: minél nagyobb a szám, annál nagyobb négyzetgyöke.
Ezt az y = x 2 függvény grafikonjával ellenőrizheti. A számokat és négyzetgyökereinket rajta jelöljük:
Látható, hogy minél nagyobb a szám az Oy tengelyén, annál a négyzetgyöknél jobbra van az Ox tengelye.
Ismerve ezt a tulajdonságot, könnyű megítélni egy gyökér értékét bármely számból. Demonstráljuk ezt a 2-es gyökérérték kiszámításával. Tudjuk, hogy
Most megírhatjuk az egyenlőtlenségeket:
Kiderül, hogy a gyökér értéke 1,4 és 1,5 között van, azaz
Próbáljuk meg meghatározni egy másik számjegyet a tizedes pont után:
Ebből következik, hogy:
A számítások folytatásával kiszámíthatja tetszőleges számú tizedesjegyet:
Természetesen a gyakorlatban az összes számítást számítógép végzi, nem manuálisan. A programozók azonban hajlamosak olyan programokat írni, hogy a lehető leggyorsabban működjenek, vagyis kevesebb számítás elvégzésével kapják meg az eredményt. Ezért a gyakorlatban gyakrabban használják a felezés (bisection) módszerét, amely hatékonyabb. Először meg kell találnia a gyökér nyilvánvaló becslését, például:
Megkaptuk, hogy a 2 gyöke 1 és 2 között van. Most megtaláljuk a két érték számtani átlagát:
Nézzük négyzetbe a számtani középértéket:
Most felírhatjuk az egyenlőtlenségeket
Vagyis az általunk keresett érték 1 és 1,5 között van. Megint megkapjuk a két becslés átlagát, és négyzetre osztjuk:
Ezt tudva tudjuk írni:
A számítások minden következő lépésében egyre pontosabban meghatározzuk a gyökérbecsléseket, miközben nem nagyon sok számítást végezzünk.
Időszakosan előfordulhatnak olyan feladatok, amelyekben durván becsülni kell a négyzetgyök értékét.
Példa. Hány egész szám van a koordináta vonalon
Megoldás: A 60-as teljes négyzethez legközelebb a 64 és 49, tehát az alábbiakat írhatja:
A 140 gyökerét is értékelheti:
Megállapítottuk, hogy a gyökér között négy szám van: 8, 9, 10 és 11:
Négyzetgyök funkció
Minden szám legfeljebb 1 számtani négyzetgyöknek felel meg. Ezért a képlet
beállítja a funkciót. Kutatja őt.
Mivel csak a nemnegatív szám lehet a radikális jel alatt, a gyökér domainje az összes nemnegatív szám halmaza. Az elfogadható értékek azonos tartománya.
A pontok négyzetgyökét ábrázoljuk. Ehhez számítsa ki az értékeket több ponton (a jelzett pontosság legfeljebb 0,1):
A négyzetgyök függvény grafikonja így néz ki:
Vegye figyelembe, hogy a kapott vonal némileg emlékeztet az y = x 2 függvény szokásos parabolájára, amelyet „egyik oldalra fektettek”, vagyis az óramutató járásával ellentétes irányba 90 ° -kal elforgatták, majd az egyik ágat eltávolították:
És ez nem véletlen. A helyzet az, hogy ez a két funkció inverz egymással. Valójában használjuk a parabola gráfot a 2 értékének meghatározásához. A nyilak mutatják a műveletek sorrendjét:
Meg kell találnunk egy az Ox tengelyen, függőleges vonalat kell felépíteni a talált ponttól a gráf metszéspontjáig, majd rajzolni egy vízszintes vonalat. Ha azonban ki kell számolnunk a b pozitív szám gyökerét, akkor ellentétes sorrendben kell eljárnunk: keressünk b-t a függőleges tengelyen, húzzunk egy vízszintes vonalat, amíg az át nem metszi a parabolát, majd engedjük le a vízszintes tengelyre merőlegesen:
Kiderül, hogy egy gráfot használhat mindkét függvény kiszámításához! Mivel azonban a függvény érvelését hagyományosan x betű jelöli, és maga a függvény y-ként, valamint az Ox tengely vízszintesen van elrendezve, az inverz függvény gráfjának megszerzése érdekében szó szerint el kell forgatnunk a fő funkció grafikonját úgy, hogy az Ox és Oy tengelyek felcserélődjenek:
Valójában, a forgatás eredményeként megkaptuk az x gyökérfüggvényének már ismerős gráfját. Csak a tengely helyes átnevezése és a számok szokásos helyzetbe fordítása marad.
Ezen grafikonok relatív helyzetét más módon is leírhatjuk. Szimmetrikusak az y = x gráf által meghatározott egyenes felé. Valójában, ha egy pont koordinátáival (a; b) az y = x 2 parabolahoz tartozik, akkor a gyökér meghatározása szerint inverz koordinátákkal rendelkező pontnak (b; a) a gyökér grafikonján kell lennie. Két ilyen pont azonban szimmetrikus az y = x vonal körül:
Ennek megfelelően az inverz függvények grafikonjai szimmetrikusak e közvetlen vonalhoz képest:
Kizárólag a nagyobb érthetőség érdekében (hogy a kérdéses szimmetria nyilvánvaló legyen), ezt a képet 45 ° -kal elforgatjuk:
Aritmetikai négyzetgyökér tulajdonságai
Néhány kifejezés egyszerűsítéséhez speciális szabályokat kell használnia a gyökerekkel való munka során. Az elsőt fogalmazzuk meg:
Matematikailag ezt a szabályt így írják:
Az identitás tetszőleges számú tényezőre működik, és ellentétes irányban is:
A következő konvertálás azonban nem érvényes:
A helyzet az, hogy a radikális jel alatt nem lehet negatív szám! Bal oldalon két gyök negatív szám, és jobb oldalon már van pozitív mennyiség (- 2) • (- 32) = 64. Ennek eredményeként a bal oldali kifejezésnek nincs értelme, a jobb oldalon pedig, tehát nem lehet egyenlőségjel közöttük.
Bizonyítsuk be ezt a szabályt. Ehhez második szintre emeljük a kifejezést
Megkaptuk, hogy a gyökér meghatározása szerint írhatunk:
A következő tulajdonság a frakciókra vonatkozik:
Szimbolikusan így néz ki:
Íme néhány példa erre a tulajdonságra:
Most bebizonyítottuk ezt a szabályt. Írta lehet
Ezért definíció szerint az egyenlőség
A harmadik szabály segíti a gyökér kibontását a hatalomra felvetett számból:
ahol a egy valós szám (beleértve a negatívot is), és k egy természetes szám.
Ez az identitás segít a következőkben:
Érdemes megjegyezni, hogy az utóbbi esetben a gyökér NEM negatív szám, mivel valójában (- 2) 10 pozitív szám. Általában, ha bármilyen számot páros teljesítményre emel, nem-negatív számot kap.
Ennek bizonyítására azt a tényt használjuk, hogy
Ezt tudva, végrehajthatja a konvertálást:
Négyzetgyök kifejezések konvertálása
A megtanult szabályok segítenek egyes kifejezések átalakításában. Tehát eltávolíthatja a tényezőt a gyökérjel alatt:
Ez a művelet olyan gyökerek hozzáadásához használható, amelyeknek a gyökérjel alatt különböző számúnak látszanak:
Az ellenkező akciónak nevezzük egy tényező bevezetését a gyökérjel alatt:
Példa. Melyik a nagyobb
Döntés. Adja hozzá a tényezőt a gyökérjel alá:
A két gyökér közül tehát a nagyobb az, amelynek nagyobb a gyökér kifejezése
Ebből következik, hogy
Vegye figyelembe, hogy egy kizárólag nem negatív tényező bevezethető a radikális jel alatt! A mínuszjelnek a radikális előtt kell maradnia:
Általánosan elfogadott, hogy egy gyököt tartalmazó frakcióval könnyebb dolgozni, ha ez a gyök a számlálóban van, nem pedig a nevező. Ebben a tekintetben megkísérlik megszabadulni az irracionalitástól a nevezőben. A legegyszerűbb esetben a törtet egyszerűen meg kell szorozni a négyzetgyökkel:
Mint láthatja, a gyökér "átkerült" a nevezőből a számlálóba. Kicsit bonyolultabb az irracionalitástól való felszabadulás, ha a nevező a gyökér összege vagy különbsége. Ebben az esetben a négyzetkülönbség-formula segít:
Nézzük meg néhány feladatot.
Példa. Keresse meg a kifejezés legnagyobb értékét
Döntés. A négyzetek különbségének képlete szerint írhat:
Ezt tudva cserélje ki a tört nevezőjét:
Ez a frakció akkor veszi a legnagyobb értéket, ha számlálója éppen ellenkezőleg veszi a minimális értéket. Ez akkor történik, ha a = 0, mivel a számtani négyzetgyök nem lehet negatív. Akkor a legnagyobb tört érték lesz
Példa. Egyszerűsítse a kifejezést
Elég nehéz akkor, ha a gyökér jele alatt van egy másik gyökér. Típus kifejezések
kettős radikálisnak hívják.
Van egy kettős radikális formula, amellyel néha egyszerűsíthető:
Ennek az identitásnak az érvényességének igazolására a jobb oldalát négyzettel fogjuk megadni, az összeg összegének (x ± y) 2 = x 2 ± 2x + y 2 képletének felhasználásával:
Alapvető fontosságú, hogy a 2 - b értéke legyen negatív. Fontolja meg például a kettős gyökök átalakulását. A kifejezésben szabadulnunk kell a külső gyököktől
Ehhez először bevezetünk egy ecetet a belső radikális jel alatt, majd a következő képletet használjuk:
Vegye figyelembe, hogy a kettős gyökképlet akkor hasznos, ha az a 2 - b kifejezés teljes négyzet.
Gyökér tulajdonságai: készítmények, bizonyítékok, példák
Tartalom:
Ez a cikk a root tulajdonságokkal kapcsolatos részletes információk gyűjteményét tartalmazza. A témát figyelembe véve a tulajdonságokkal kezdjük, tanulmányozzuk az összes készítményt és bizonyítékokat adunk. A téma javításához figyelembe vesszük a n. Fokozat tulajdonságait.
Gyökér tulajdonságai
Ingatlanokról fogunk beszélni.
- Az a és b szorozott szám tulajdonsága, amelyet a · b = a · b egyenlőségként mutatunk be. Megjeleníthető pozitív vagy nullát mutató tényezőként a 1, a 2,..., k k mint 1 · a 2 ·... · a k = a 1 · a 2 ·... · a k;
- az a hányadosból: b = a: b, a ≥ 0, b> 0, ebben az alakban is meg lehet írni a b = a b;
- Tulajdonság az a-ból egy páros exponenssel egy 2 · m = m m-nél bármely a számhoz, például egy tulajdonság a 2 = a négyzetből.
A bemutatott egyenletek bármelyikében cserélheti a részeket a kötőjel előtt és után, például az a · b = a · b egyenlet átalakul: · b = a · b. Az egyenlőségi tulajdonságokat gyakran használják a komplex egyenletek egyszerűsítésére..
Az első tulajdonságok igazolása a négyzetgyök meghatározásán és a természetes exponenssel rendelkező fokok tulajdonságain alapszik. A harmadik tulajdonság igazolásához a szám moduljának meghatározására van szükség.
Először is be kell bizonyítani a négyzetgyök tulajdonságait a · b = a · b. A meghatározás szerint figyelembe kell venni, hogy a · b egy pozitív vagy nullával egyenlő szám, amely négyzet alakjában egyenlő a · b-vel. Az a · b kifejezés értéke pozitív vagy nullával egyenlő, mint a nem-negatív szám szorzata. A szorozott számok fokának tulajdonsága lehetővé teszi az egyenlőség ábrázolását (a · b) 2 = a 2 · b 2 formában. A négyzetgyök meghatározása szerint a 2 = a és b 2 = b, akkor a · b 2 = a 2 · b 2 = a · b.
Hasonló módon bizonyíthatjuk, hogy a k tényező szorzatából az 1, a, 2,..., k k lesz ezeknek a tényezőknek a négyzetgyökeinek szorzata. Valójában egy 1 · a 2 ·... · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 ·... · a k 2 = a 1 · a 2 ·... · a k.
Ebből az egyenlőségből következik, hogy a 1 · a 2 ·... · a k = a 1 · a 2 ·... · a k.
Nézzünk meg néhány példát a téma megszilárdításához..
3 · 5 2 5 = 3 · 5 2 5, 4, 2 · 13 1 2 = 4, 2 · 13 1 2 és 2, 7 · 4 · 12 17 · 0, 2 (1) = 2, 7 · 4 · 12 17,0, 2 (1).
Be kell bizonyítani a hányados számtani négyzetgyökének tulajdonságát: a: b = a: b, a ≥ 0, b> 0. Ez a tulajdonság lehetővé teszi, hogy az a: b 2 = a 2: b 2 és a 2: b 2 = a: b egyenletet írjuk be, míg a: b pozitív szám vagy nulla. Ez a kifejezés bizonyíték lesz.
Például 0: 16 = 0: 16, 80: 5 = 80: 5 és 3 0, 121 = 3 0, 121.
Vegye figyelembe a négyzet számának négyzetgyökét. Egyenlőség formájában írható, mint 2 = a. Ennek a tulajdonságnak a bizonyításához részletesen mérlegelni kell több egyenlőséget ≥ 0 és 0 esetén..
Nyilvánvaló, hogy ≥ 0 esetén az a 2 = a egyenlőség érvényes. Ha a 0, akkor az a 2 = - a egyenlőség igaz lesz. Valójában ebben az esetben a> 0 és (- a) 2 = a 2. Megállapíthatjuk, hogy a 2 = a, a ≥ 0 - a, a 0 = a. Ezt bizonyítani kellett.
Nézzünk meg néhány példát..
5 = 5 = 5 és - 0, 36 2 = - 0, 36 = 0, 36.
A bizonyított tulajdonság segít megindokolni a 2 · m = a m-et, ahol a valós és m természetes szám. Valójában a fok fokozásának tulajdonsága lehetővé teszi, hogy a 2 · m fokot helyettesítsük az (a m) 2 kifejezéssel, majd a 2 · m = (a m) 2 = a m.
3 8 = 3 4 = 3 4 és (- 8, 3) 14 = - 8, 3 7 = (8, 3) 7.
Az n. Fokozat gyökerének tulajdonságai
Először meg kell vizsgálnia a n. Fokozat gyökereinek fő tulajdonságait:
- Az a és b szám szorzatából származó olyan tulajdonság, amely pozitív vagy nullával egyenlő, kifejezhető a · bn = an · bn egyenlőséggel, ez a tulajdonság a k, a 1, a 2,... szorzatra érvényes, azaz 1 · a 2 ·... · akn = a 1 n · a 2 n ·... · akn;
- egy törtszámnak a a b n = a n b n tulajdonsággal rendelkezik, ahol a bármely valós szám pozitív vagy nulla, és b pozitív valós szám;
- Bármely a és páros n = 2 · m exponenssel érvényes a 2 · m 2 · m = a, és páratlan n = 2 · m – 1 esetén a a · · m - 1 2 · m - 1 = a.
- Az m n = a n · m-ből történő kivonás tulajdonsága, ahol a bármilyen pozitív szám vagy egyenlő nullával, n és m természetes számok, ez a tulajdonság formában is megjeleníthető... a n k n 2 n 1 = a n 1.. N k;
- Bármely természetes és nem negatív a, valamint önkényes n és m esetében, amelyek természetesek, meg lehet határozni a méltányos egyenlőséget a m n · m = a n;
- Az a fok fokától függő n fokozat tulajdonsága, amely pozitív vagy egyenlő nullával, természetben, m, egyenlőséggel határozva meg a m n = a n m;
- Összehasonlító tulajdonság, amelyek ugyanazokkal a mutatókkal rendelkeznek: bármely olyan a és b pozitív szám esetén, ahol a b, az a n b n egyenlőtlenség;
- Összehasonlító tulajdonság, amelynek gyökere alatt azonos számok vannak: ha m és n olyan pozitív egész szám, hogy m> n, akkor 0 a 1 esetén az a m> a n egyenlőtlenség áll fenn, és a> 1 a m a n esetén.
A fent megadott egyenlőségek méltányosak, ha a jel előtti és utáni részek azonosak. Ebben a formában felhasználhatók. Ezt gyakran használják kifejezések egyszerűsítésére vagy átalakítására..
A gyökérjellemzők fent megadott bizonyítása a definíción, a fok tulajdonságain és a szám moduljának meghatározásán alapszik. Ezeket a tulajdonságokat be kell bizonyítani. De az első dolgok először.
- Először a n-edik fok gyökerének tulajdonságait bizonyítjuk az a · b n = a n · b n szorzatból. Az a és b esetében, amelyek pozitív vagy nullával megegyeznek, az n · b n értéke szintén pozitív vagy nullával egyenlő, mivel a nem-negatív szám szorzásának következménye. A természetbeni termék tulajdonsága lehetővé teszi számunkra, hogy a n · b n n = a n n · b n n egyenletet írjuk be. Az n. Hatalom gyökerének meghatározása szerint a n n = a és b n n = b, tehát a n · b n n = a · b. Az ebből fakadó egyenlőség pontosan azt volt, amit bizonyítani kellett.
Ez a tulajdonság hasonlóan k tényező szorzata esetén bizonyított: a 1, a 2,..., a n, a 1 n · a 2 n ·... nem negatív számok esetén a a n n ≥ 0.
Példákat adunk a n-edik fok gyökér tulajdonságának a termékből történő felhasználására: 5 · 2 1 2 7 = 5 7 · 2 1 2 7 és 8, 3 4 · 17, (21) 4 · 3 4 · 5 7 4 = 8, 3 · 17, (21) 3 · 5 7 4.
- Bizonyítsuk be a gyök tulajdonságát a b n = a n b n hányadosból. ≥ 0 és b> 0 esetén az a n b n ≥ 0 feltétel teljesül, és a n b n n = a n n b n n = a b.
8 27 3 = 8 3 27 3 és 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.
- A következő lépéshez be kell bizonyítani az n-edik teljesítmény tulajdonságait egy számtól n-ig. Ezt a 2 · m 2 · m = a és a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a egyenlet formájában mutatjuk be bármely valós a és természetes m esetén. A ≥ 0 esetén a = a és a 2 · m = a 2 · m-t kapjuk, amely bizonyítja az a2 · m 2 · m = a egyenlõséget, és az a · · m – 1 2 · m – 1 = a egyenlõség nyilvánvaló. Ha 0, akkor a = - a és a 2 · m = (- a) 2 · m = a 2 · m értéket kapunk. A szám utolsó transzformációja a fok tulajdonsága szerint érvényes. Pontosan ez bizonyítja az a2 · m 2 · m = a, és a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a egyenlõt, mert páratlan fok esetén - c 2 · m - 1 = - c 2 · m - 1 bármely c szám esetén, pozitív vagy nullával egyenlő.
A kapott információk konszolidálása érdekében több példát tekintünk az ingatlan használatára:
7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 és (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.
- Bizonyítsuk be a következő egyenlőséget a m n = a n · m. Ehhez meg kell cserélnie a számokat az egyenlõ jel elõtt és utána helyekben a n · m = a m n. Ez helyes rekordot jelent. Ha a a pozitív vagy nullával egyenlő, akkor az a m n formája pozitív vagy nullával egyenlő szám. Az exponencia és a meghatározás tulajdonságához fordulunk. Ezek felhasználhatók az egyenlőségek átalakítására a m n n · m = a m n n m = a m m = a formában. Ez bizonyítja a gyökérnek a gyökérről feltételezett tulajdonságát.
Más tulajdonságok hasonló módon bizonyultak. Valóban,... a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 ·... N k =... a n k n 3 n 2 n 2 n 3.. N k =... a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 ·... N k =... = a n k n k = a.
Például 7 3 5 = 7 5 · 3 és 0, 0009 6 = 0, 0009 2 · 2 · 6 = 0, 0009 24.
- Bizonyítsuk be a következő tulajdonságot a m n · m = a n. Ehhez meg kell mutatni, hogy n n pozitív szám vagy nulla. Ha hatalomra növekszik, n · m egyenlő m-rel. Ha az a szám pozitív vagy nullával egyenlő, akkor a n-es teljesítménye pozitív vagy nullával egyenlő szám, ráadásul a n · m n = a n n m, szükség szerint.
A megszerzett ismeretek konszolidálása érdekében számos példát vizsgálunk meg
- Bizonyítsuk be a következő tulajdonságot - a m n = a n m formájú gyökértulajdonságot. Nyilvánvaló, hogy ≥ 0 esetén n n mértéke nem negatív szám. Sőt, n-edik foka egyenlő m-rel, valóban, a n m n = a n m · n = a n n m = a m. Ez bizonyítja a fok megfontolt tulajdonságát.
Például 2 3 5 3 = 2 3 3 5.
- Be kell bizonyítani, hogy az a és b pozitív számok esetén az a b feltétel teljesül. Vegye figyelembe az egyenlőtlenséget a n b n. Az ellenkező módszert használjuk a n ≥ b n. Ezután a fent említett tulajdonság szerint az egyenlőtlenséget valódinak kell tekinteni a n n ≥ b n n, azaz a ≥ b. De ez nem felel meg az a b feltételnek. Ezért a n b n egy b esetén.
Például adja meg a 12 4 15 2 3 4 -et.
- Vegyük figyelembe a n. Fokozat gyökér tulajdonságát. Először meg kell vizsgálnia az egyenlőtlenség első részét. M> n és 0 a 1 esetén a m> a n igaz. Tegyük fel, hogy a m ≤ a n. A tulajdonságok leegyszerűsítik a kifejezést: n m · n ≤ a m m · n. Ezután a természetes exponenssel rendelkező fok tulajdonságainak megfelelően az a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n egyenlőtlenség tart, azaz a n ≤ a m. Az m> n és 0 a 1 értékre kapott érték nem felel meg a fent megadott tulajdonságoknak.
Hasonló módon bizonyíthatjuk, hogy m> n és a> 1 esetén az a m a n feltétel.
A fenti tulajdonságok javítása érdekében néhány konkrét példát vizsgálunk meg. Fontolja meg az egyenlőtlenségeket meghatározott számok felhasználásával.